自动控制原理2-控制系统的时域分析法

一、一阶和二阶系统分析与计算

1.一阶系统分析与计算

对于一阶系统，求出其(闭环)传递函数，将其传递函数写成如下形式，其中为常数
为时间常数
系统的单位阶跃响应为
一阶系统的调节时间(单位：秒(s))
$对应误差带输出响应可达稳态值的$
$对应误差带输出响应可达稳态值的$

：
一阶系统如图所示，试求该系统单位阶跃响应及调节时间(5%误差带)；当要求s时，该如何取值？
求出传递函数
故，单位阶跃响应，调节时间s
当s时，，解得

2.二阶系统分析与计算

对应二阶系统，求出其(闭环)传递函数，将其传递函数写成如下形式，其中为常数

称固有频率，称为阻尼比
过阻尼()系统的单位阶跃响应为
- 调节时间：
欠阻尼()系统的单位阶跃响应为
- 峰值时间(单位：秒(s))：
- 超调量：
- 瞬时最大量：
- 调节时间(单位：秒(s))：
$取误差带$
$取误差带$
$取误差带$

：
系统结构图如图所示，要求阶跃响应的指标，s，试选取参数的值。
系统的闭环传递参数
故有各参数

解得
有各指标

解得

二、系统稳定性分析与稳态误差分析

1.劳斯判据进行系统稳定性分析

(1)系统稳定性的概念

闭环系统零极点分布图如上所示，横轴为实轴，竖轴为虚轴，点代表的数为。

系统函数，称为系统的特征方程，方程根即为系统的极点。若极点均位于左半平面，则该系统为稳定系统。

(2)劳斯判据

系统特征方程为：

列出劳斯表如下：

劳斯表的列头为到，将方程的各系数间隔填入前两行，第一行为偶次系数，第二行为奇次系数。如为奇数，前两行能全部填完；如为偶数则填不完的默认为0。
劳斯表中的一个元素的求法如下，其中为列数，为行数

劳斯表整体呈一个阶梯为2的倒三角形式，每一列最后一个元素恒为。
若劳斯表第一行有0值出现，则用任意小的(正负任意)代替0继续计算。
若劳斯表出现0行，则可用0行前一行系数构造均为偶次的辅助方程(从左到右依次为)，用的系数代替0行继续计算。

完成劳斯表后，可根据第一列判断系统稳定性：

若第一列所有元素符号相同但不为0，则系统稳定
第一列系数改变符号的次数，即不稳定根(正实部根)的个数，这时系统不稳定
如果第一列中的元素除了出现的0值外全部符号相同，则说明系统有临界稳定的特征根，系统临界稳定
劳斯表中出现0行，则说明存在大小相等，方向相反的根

：
已知闭环系统的特征方程，试用劳斯判据判别系统的稳定性。

第一列均大于0，该系统稳定

第一列有0，该系统临界稳定

若，；若，，第一列符号不统一，该系统不稳定，符号变化2次，有两个正实部根

取0行前一行系数构建偶次辅助方程，求导得，系数除以4后

若，；若，，第一列符号不统一，该系统不稳定，符号变化2次，有两个正实部根

若要使系统闭环极点的实部不大于，则将代入特征方程，求取系统稳定的条件即可。

：
设控制系统开环传递函数，要使系统闭环极点的实部不大于-1，试确定的取值范围。
系统闭环特征方程为
代入得

整理得
得到劳斯表
故有

解得。

2.控制系统的稳态误差分析

(1)系统误差相关概念

误差(为输出，为输入)
系统误差
稳态误差
注意：求解系统稳态误差首先要判断系统稳定性

(2)稳态误差的终值求法

闭环传递函数与开环传递函数的转换(为开环传递函数，为闭环传递函数)

系统的整体传递函数为闭环传递函数
终值定理求法(为闭环传递函数)

终值定理的适用条件是和存在，若不存在则不适用该方法

(3)系统结构参数求稳态误差法

系统的开环函数写成如下形式：

称为开环增益，为积分环节数目，分别称为0型系统、I型系统和II型系统
静态误差系数
稳态误差、静态误差系数与积分环节个数和输入信号之间的关系

系统型别	静态误差系数
型系统
0型系统
I型系统
II型系统

：
系统结构图如图所示，已知输入信号，求系统的稳态误差。
判别系统稳定性
闭环传递函数为

特征方程为
由劳斯判据

系统稳定
由终值定理求稳态误差
或由结构参数求稳态误差
开环传递函数

，为I型系统
，有；，有，故