博弈4-不完全信息静态博弈

一、静态贝叶斯博弈与贝叶斯纳什均衡

1.静态贝叶斯博弈的标准式表达

博弈要素：

• 参与人
• 行动空间(策略)：，表示参与者的决策集
• 类型空间：，表示参与者的类型集，不同的类型对应着不同的收益函数
• 推断：，参与者只知道自己的类型，不知道别人的类型，因而表示参与者在知道自己的类型是的前提下，对其他参与者类型的推断
• 收益：，表示了在给定类型的情况下的收益。

定义：一个个人的静态贝叶斯博弈的标准式表述包括：参与者的行动空间，他们的类型空间，他们的推断以及他们的收益函数。参与者的类型作为参与者的私人信息，决定了参与者的收益函数，并且是可能的类型集中的一个元素。参与者的推断描述了在给定自己的类型时，对其他个参与者可能的类型的不确定性。我们用表示这一博弈。

2.贝叶斯纳什均衡的定义

• 战略：在静态贝叶斯博弈中，参与者的一个战略是一个函数，其中对中的每一类型，包含了自然赋予的类型为时，将从可行集中选择的行动。

• 贝叶斯纳什均衡：在静态贝叶斯博弈中，战略组合是一个纯战略贝叶斯纳什均衡，如果对每一参与者及对的类型集中的每一，满足：
  
  亦即，没有参与者愿意改变自己的战略，即使这种改变只涉及一种类型下的一个行动。

例1

非对称信息下的古诺竞争：企业1的成本为，企业2的成本以的概率为，以的概率为，。

• 对于企业2，当其成本为时，其会选择以达到；当其成本为时，其会选择以达到。

• 对于企业1，其不知道企业2的成本会是多少，但知道其概率，故其选择以使期望的利益最大化：。

• 求导求极大值点得：

  ，，

• 联立三式解得：

二、应用举例

1.再谈混合策略

给定性别战模型：

克里斯/帕特	歌剧	拳击
歌剧	2,1	0,0
拳击	0,0	1,2

其中有两个纯策略纳什均衡：(歌剧，歌剧)，(拳击，拳击)和一个混合策略纳什均衡：其中克里斯以2/3的概率选择歌剧，帕特以2/3的概率选择拳击。

定义如下不完全信息性别战：

克里斯/帕特	歌剧	拳击
歌剧	2,1	0,0
拳击	0,0	1,2

其中作为类型均且符合均匀分布，即克里斯推断和帕特推断有。

博弈要素：

• 参与人：克里斯，帕特
• 行动空间：歌剧，拳击
• 类型空间：
• 推断：
• 收益：见收益矩阵

假设克里斯在超过某临界值时选择歌剧，否则选择拳击；帕特在超过临界值时选择拳击，否则选择歌剧，即克里斯以的概率选择歌剧，帕特以的概率选择拳击。

• 对克里斯而言，其选择歌剧与选择拳击的期望收益分别是：
  

  当且仅当即时，选择歌剧是最优的。

• 对帕特而言，其选歌剧与选择拳击的期望收益分别是：
  

  当且仅当即时，选择拳击是最优的。

• 联立，得及，解得
  

• 当趋于0，上式值趋于2/3，即当非完全信息消失，参与者在不完全信息博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡下的行动趋于其在原完全信息博弈混合战略纳什均衡下的行动。

2.拍卖一种

问题描述：价格优先密封拍卖，两个投标人1和2，投标人对商品的估价为，如果投标人出价得到商品，则的收益为。两个投标人的估价相互独立，并服从区间上的均匀分布，双方同时出价，出价较高的一方得到商品，并支付他报的价格(他报的价格不是!)；另一方的收益和支付为0。在投标价格相等的情况下，胜利方由掷硬币决定。

博弈要素：

• 参与人：投标人1，投标人2
• 行动空间：报价
• 类型空间：
• 推断：上的均匀分布
• 收益：

在贝叶斯纳什均衡下，参与者1的战略为参与者2战略的最优反应，反之亦然。如果战略组合是贝叶斯纳什均衡，如果对中的每一，满足：

• 假设参与者采取战略，对于一个给定的值，参与者的最优反应为下式的解：
  
  其中认为。

• 于是，解得参与者的最优反应：

• 因为假设是线性，因为，因此一定有或，如果则一定不是最优的，因而只有。这种情况下，故有。又因为也有，故有。所以。

参考文献

[1] 博弈论基础，罗伯特·吉本斯