自动控制原理3-控制系统的状态空间分析法

一、状态空间方法基础

1.系统的状态空间表达式

单输入-单输出线性定常系统且输入不含导数项情况的微分方程如下：

选取作为状态变量，则有系统状态方程写成矩阵形式，有

系统的输出方程为

写成矩阵形式，有

：
设系统方程为，试求系统的状态方程和输出方程。
令，有

有
输出方程为

2.线性定常系统状态方程的解

其次向量微分方程

定义状态转移矩阵，有

求解公式为(二阶矩阵求逆：主对调，次换号，除以行列式)

在已知与状态转移矩阵相乘即可求解。

：
设系统状态方程为，，试求状态方程之解。
先求出状态转移矩阵
求解得

3.传递函数矩阵

设系统的状态方程、输出方程为

定义传递函数矩阵为

系统的特征方程即为

：
设系统动态方程为，，试求该系统的传递矩阵。
求得
计算得

二、线性系统的可控性和可观测性

1.线性系统的可控性

(1)可控性判据

单变量线性定常系数的动态方程为

系统可控性的充分必要条件是(为状态维数)

注意是由拼成的矩阵。

(2)可控标准型

单输入系统具有标准形式

如果系统可控，令(其中称为变换矩阵)

有可控标准型

(3)可控性分解

当系统不具有可控性时，选取的前列线性无关的向量，再补充个线性无关的向量，使得线性无关，构成变换矩阵的逆，有

系统方程具有如下形式

有可控动态方程

：
设系统状态方程为，其中，试将系统状态方程化为可控标准型。
先判定系统可控性

系统可控
求得
最终得

补充：矩阵求逆——利用初等行变换，有

2.线性系统的可观测性

(1)可观测性判据

单变量线性定常系数的动态方程为

系统可观测性的充分必要条件是(为状态维数)

注意是由拼成的矩阵。

(2)可观测标准型

一个单输入系统具有标准形式

如果系统可观测，令(其中称为变换矩阵)

有可观测标准型

(3)可观性分解

当系统不具有可观测性时，选取的前行线性无关的向量，再补充个线性无关的向量，使得线性无关，构成变换矩阵，有(注意可观性分解与可控性分解的区别是选取的是行向量而不是列向量，构成的是而不是)

系统方程具有如下形式

有可控动态方程

：(注意，该例可能有误)
设系统动态方程为，，试将系统的动态方程化为可观测标准形，并求出其变换矩阵。
先判定系统可观测性

系统可观测
求得
最终得

3.传递函数的动态方程实现

设给定有理函数

则有可控标准型的实现

则有可观标准型的实现

可以观察到可控标准型，可观标准型，有关系

注意：如果分子最高次项是，则应使用长除法，保留分式部分进行可控/可观标准型的实现，在动态结构图中，要从初始点引出一条线到终点的综合点。

：
写出传递函数的可控标准型和可观标准型的实现。
先进行长除法：
化为可控标准型

化为可观标准型

该传递函数分子最高次项为，如画动态结构图，应注意。

三、状态反馈与状态观测器

1.由闭环系统具有任意要求特征值计算增益向量

(1)化可控标准型求解

计算的特征式
由所给的个期望特征值计算期望的多项式
有
计算可控标准型变换矩阵
有增益向量

(2)待定系数法求解
将表示为，计算
将上式与期望特征式比较，令的同次幂系数相等，得到包含个未知量的的个方程
在系统可控的条件下，解得方程即可得出。

：
设系统动态方程为，若加状态反馈使闭环特征值分布为，试求状态反馈增益阵。
设，有
期望多项式为
有
故有

2.状态观测器

对于系统动态方程

设观测器的增益矩阵有观测器的特征方程为

根据给定特征值，求出期望的多项式为

比较两多项式中的同次项系数求得，即有观测器方程为

：
设系统动态方程为，试设计特征值在-10,-10的状态观测器。
设，有
期望多项式为
有
得到观测器的方程为

四、有界输入和有界输出的稳定性

1.渐近稳定和BIBO稳定的判定

对于动态方程

若的特征值均在复平面的左半部，则称动态方程是渐近稳定的，其中特征方程如下，其根即为特征值

若的极点具有负实部，当且仅当系统有界输入、有界输出稳定(BIBO稳定)，其中

：
设系统动态方程为，试分析其渐近稳定性和BIBO稳定性。
特征方程为

特征值为+2,-3，不均在负平面的左半部，故系统不是渐近稳定的。
传递函数为

极点-3具有负实部，则系统是BIBO稳定的。

2.李雅普诺夫第二方法

对于动态方程

该系统的解是渐近稳定的充分必要条件是对给定任意一个正定对称阵，都存在唯一的正定对称阵，使得

一般取，若解得为正定对称阵，则说明零解在李雅普诺夫意义下渐近稳定。

补充：正定矩阵的判定——矩阵的各阶主子式均为正数，则矩阵正定

：
考虑二维系统，试确定平衡状态是否渐近稳定。
令，设
解

得，为正定对称阵，故是渐近稳定的。