博弈2-完全信息静态博弈

一、应用举例

1.古诺模型

博弈要素

参与人：企业1，企业2
策略：产量
收益：利润((售价-成本)产量)——
其他信息：成本为常数，售价

企业1/企业2

根据描述，收益矩阵如上。利用纳什均衡求解该博弈，即要求策略组互为最优应对：

企业1的决策应满足使得最大，把视为变量，视为常数，求极大值点，得。
由对称性，。
由纳什均衡，，解得。

2.伯川德模型

博弈要素

参与人：企业1，企业2
策略：售价
收益：利润((售价-成本)销售量)——
其他信息：成本为常数，销售量

企业1/企业2

根据描述，收益矩阵如上。利用纳什均衡求解该博弈，即要求策略组互为最优应对：

企业1的决策应满足使得最大，把视为变量，视为常数，求极大值点，得。
由对称性，。
由纳什均衡，，解得。

3.最后要价仲裁

博弈要素

参与人：企业，工会
策略：企业希望工资水平，工会希望工资水平
收益：企业目标使期望工资最小化，工会目标使期望工资最大化

仲裁：仲裁人随机给出工资理想值，最后选择离最近的工资水平作为结果。假设，若，仲裁者将选择；若，仲裁者将选择。未知，但其概率密度函数已知。
$被选$

$被选$

$被选被选$

则满足，满足，分别对和求导等于0得

则有，即。

考虑，，则解得，。

4.公共财产问题

博弈要素

参与人：村民1~
策略：放羊数
收益：放羊数(价值-成本)——
其他信息：成本为常数，即总放羊数

利用纳什均衡求解该博弈，即要求策略组互为最优应对：

村民的决策应满足使得最大，把视为变量，其他视为常数，求的极大值点，得。
由纳什均衡，，则上式可表示为，解得的即为博弈的解，。
考虑社会最优收益，解得，该博弈的解。

二、纳什均衡的存在性

1.混合策略的纳什均衡

(1)定义

对标准式博弈，假设。那么，参与者的一个混合策略为概率分布，其中对所有，且。

(2)混合策略的求解

对于每个参与人均有2个策略：

设参与人1采取策略1,2的概率分别为
对于参与人2采取的每一个策略1,2，其收益期望是：

由于纳什均衡，有：

解得，用对称的方法求出。

例1

	L	R
T	2,1	0,2
B	1,2	3,0

假设参与人采取T的概率为，采取B的概率为
，
由，得，
，
由，得，

(3)性质

一个给定的纯策略可能会严格劣于一个混合策略，即使这个纯策略并不严格劣于其他任何一个纯策略。
一个给定的纯策略可以是针对一个混合策略的最优对策，即使这一纯策略并不是对方任何一个纯策略的最优对策。

2.纳什均衡解的存在性

对参与人1策略的选择做出分析，假设参与人1选择策略A,B的概率分别为，参与人2选择策略A,B的概率分别为，决策矩阵为：

参与人1/参与人2	A()	B()
A()	_	_
B()	_	_

则参与人1的期望收益为：

将看作以为自变量，为参数的线性函数，对求导：

对进行分类讨论，因为只考虑参与人1，故只考虑与、与的关系(与的关系不会影响参与人1对策略A的选择，与的关系同理)，有以下9种情况：

/

对主要情况进行分析：

存在明显的严格劣策略，在情况下，；在情况下，
在情况下：
- ，此时对不起作用，可取任意值
- ，此时越大越大，必取最大值1
- ，此时越大越小，必取最小值0
在情况下：
- ，此时对不起作用，可取任意值
- ，此时越大越大，必取最大值1
- ，此时越大越小，必取最小值0

对于参与人2，也会有以上4种主要情况，参与人1与2的曲线相结合，最优对策曲线的交点即为纳什均衡，主要有3种情况：纯策略+纯策略、纯策略+混合策略、混合策略+混合策略。

纯策略+纯策略：会产生一个纯策略纳什均衡
纯策略+混合策略：会产生一个纯策略纳什均衡
混合策略+混合策略：会产生一个混合策略纳什均衡或产生一个混合策略纳什均衡与两个纯策略纳什均衡

综上可知，无论哪种情况，均会产生纳什均衡。

对其他情况进行分析：

情况下，参与人1会选择有更大收益的策略。
如，不影响策略的选择，，故参与人1会选择策略A，。但这的前提条件是参与人2会选择策略A，，如果参与人2不选择策略A，，那么参与人1的就没有任何意义，这时可以取任意值。
其他情况同理。

在情况下，任何策略没有区别。

参考文献

[1] 博弈论基础，罗伯特·吉本斯